Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 97833

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Кротов С.С.

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97834 (#2)

Темы:	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Апофема пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97836 (#3)

Темы:	[	Полуинварианты	]
	[	Перестановки и подстановки	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ильичев В.

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 97832 (#4)

Темы:	[	Непрерывные функции (общие свойства)	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 97838 (#5)

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Зелевинский А.В.

Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
б) Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]