ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 61521  (#11.094)

Темы:   [ Многочлены Гаусса ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2
Классы: 10,11

Вычислите функции gk,l(x) при  0 ≤ k + l ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61522  (#11.095)

Темы:   [ Многочлены Гаусса ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь):
  а)  gk,l(x) = ,  где  hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm)   (h0(x) = 1);
  б)  gk,l(x) = gl,k(x);
  в)   gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
  г)  gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
  д)  gk,l(x) – многочлен степени kl.
  Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61523  (#11.096)

Темы:   [ Многочлены Гаусса ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

а) Определение (смотри в справочнике) функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61524  (#11.097)

Тема:   [ Многочлены Гаусса ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите сумму  Sl(x) = g0,l(x) – g1,l–1(x) + g2,l–2(x) – ... + (–1)lgl,0(x).
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61525  (#11.098)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
  а)  Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
  б)  Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(nk);
  в)  Pk,l(n) = Pl,k(n);
  г)  Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .