ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61524
Тема:    [ Многочлены Гаусса ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите сумму  Sl(x) = g0,l(x) – g1,l–1(x) + g2,l–2(x) – ... + (–1)lgl,0(x).
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.


Решение

  Из задачи 61522 в) следует, что  Sl(x) = (1 – xl–1)g0,l–1(x) – (1 – xl–2)g1,l–2(x) + ... + (–1)l–1(1 – x0)gl–1,0(x).  Применяя очевидное равенство
(1 – xm)gk,m(x) = (1 – xk+m)gk,m–1(x)  к каждому слагаемому в последней сумме, приходим к равенству  Sl(x) = (1 – xl–1)Sl–2(x).
  Поскольку  S1(x) = 0,  отсюда следует, что  Sl(x) = 0  для каждого нечётного l.
  S0(x) = 1,  поэтому для чётного  l = 2n  получаем  


Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 4
Название Многочлены Гаусса
Тема Последовательности
задача
Номер 11.097

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .