ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61522
Темы:    [ Многочлены Гаусса ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь):
  а)  gk,l(x) = ,  где  hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm)   (h0(x) = 1);
  б)  gk,l(x) = gl,k(x);
  в)   gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
  г)  gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
  д)  gk,l(x) – многочлен степени kl.
  Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.


Подсказка

Свойство а) непосредственно следует из определения.
Свойства б) и в) непосредственно вытекают из а).
Свойство г) доказывается индукцией по k при помощи свойства в).
Свойство д) доказывается индукцией по l при помощи свойства г).

Замечания

Более прямое доказательство д) см. в задаче 61029.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 4
Название Многочлены Гаусса
Тема Последовательности
задача
Номер 11.095

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .