Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M₁. Пусть M₂ — проекция M₁ на прямую BC из D, M₃ — проекция M₂ на CD из A, M₄ — проекция M₃ на DA из B, M₅ — проекция M₄ на AB из C и т. д. Докажите, что M₁₃ = M₁ (а значит, M₁₄ = M₂, M₁₅ = M₃ и т. д.).

   Решение

---

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).

   Решение

---

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача 30.27).

   Решение

---

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.44).

   Решение

---

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

   Решение

---

  Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM₀, через секунду – OM₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM₂, ещё через три секунды после этого – OM₃, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМ_N–2  – OM_N–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55391

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°, BD – биссектриса угла B. Докажите, что  BD + DA = BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97848

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97858

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97868

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97875

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

  Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM₀, через секунду – OM₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM₂, ещё через три секунды после этого – OM₃, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМ_N–2  – OM_N–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями