ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97875
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол 360°/N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM0, через секунду – OM1, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM2, ещё через три секунды после этого – OM3, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМN–2  – OMN–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?


Решение

  а) Пусть  N = 2m.  Разность   ½ k(k + 1) – ½ l(l + 1) = ½ (k – l)(k + l + 1)   не делится на 2m, поскольку числа  k – l  и  k + l + 1  разной чётности и большее из них не превосходит  2N – 1 < 2m+1.  Значит, числа вида   ½ k(k + 1),   k = 0, 1, ..., N – 1   не сравнимы по модулю N, откуда сразу следует, что круг будет разделён на равные секторы.

  б) Пусть  N = 2mq,  где q нечётно и больше 1. Найдем два числа указанного в а) вида, сравнимые по модулю N.

  Если  q > 2m,  положим  k – l = 2mk + l + 1 = q.  Тогда   k = ½ (q + 2m – 1) < N,  l = ½ (q – 2m – 1) ≥ 0.
  Если же  q < 2m,  положим  k – l = qk + l + 1 = 2m.  Тогда   k = ½ (2m + q – 1) < N,  l = ½ (2mq – 1) ≥ 0.


Ответ

а) Верно;  б) не относятся.

Замечания

баллы: 4 + 4

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1985
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М938
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .