Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    x² + 4sin²y – 4 = 0,
    cos x – 2cos²y – 1 = 0.

   Решение

---

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

   Решение

---

Из колоды вынули семь карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по три карты, а оставшуюся карту
  а) спрятали;
  б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят открытым текстом.)

   Решение

---

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55391

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°, BD – биссектриса угла B. Докажите, что  BD + DA = BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97848

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97858

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97868

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97875

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

  Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM₀, через секунду – OM₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM₂, ещё через три секунды после этого – OM₃, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМ_N–2  – OM_N–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями