Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи O₁X и O₂Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω₂, а из точки Y – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.

   Решение

---

Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

   Решение

---

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79605  (#1)

Темы:   [ Неравенства с модулями ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Докажите, что если  a + b + c + d > 0,  a > c,  b > d,  то  |a + b| > |c + d|.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79606  (#2)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматная раскраска ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79607  (#3)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79608  (#4)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108166  (#5)

Темы:   [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями