Задача 64649
|
|
 |
Условие
Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.
Решение
Преобразуем данное равенство к виду (a – d)(c – b) = 11bd. Поскольку (a – d, d) = (a, d) = 1, то c – b делится на d. Аналогично a – d делится на b. Причём произведение этих двух частных – простое число (11). Значит, одно из этих частных равно ±1, то есть разность каких-то двух из чисел a, b, c, d равна третьему, что и требовалось.
Замечания
5 баллов
