Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 78750

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Внутри круга радиуса 1 м расположены n точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше n метров.

Прислать комментарий Решение

Задача 78766

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8

Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 33 на 11 групп, по три числа в каждой, так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78734

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

12 теннисистов участвовали в турнире. Известно, что каждые два теннисиста сыграли между собой ровно один раз и не было ни одного теннисиста, проигравшего все встречи. Доказать, что найдутся такие теннисисты A, B, C, что A выиграл у B, B у C, C у A. (В теннисе ничьих не бывает.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 53132

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K₁ и K₂, а другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая K₁L₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.

Прислать комментарий Решение

Задача 78737

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дано 999-значное число. Известно, что если взять из него любые 50 последовательных цифр и вычеркнуть все остальные, то полученное число будет делиться на 2⁵⁰. (Оно может начинаться с нулей или просто быть нулём.) Доказать, что исходное число делится на 2⁹⁹⁹.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]