Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]

Задача 67161

Темы:	[	Концентрические окружности	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$. Хорда $AD$ окружности $\Omega$ касается $\omega$. Внутри меньшего сегмента $AD$ круга с границей $\Omega$ взята произвольная точка $P$. Касательные из $P$ к окружности $\omega$ пересекают большую дугу AD окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезки $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что отрезок $PQ$ делит отрезок $AD$ на две равные части.

Прислать комментарий Решение

Задача 67155

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Пусть n > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на n клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные n клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на n остаток 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 67156

Темы:	[	Центральная симметрия (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67157

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Петя прибавил к натуральному числу N натуральное число M и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у N. Тогда он снова прибавил M к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у N?

Прислать комментарий Решение

Задача 67163

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]