Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
43 турнир (2021/2022 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
РешениеРаскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?
РешениеВ кошельке лежат 2 монеты на общую сумму 15 коп. Одна из них не пятак. Что это за монеты?
РешениеНатуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
РешениеИз вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что ∠ABM = ∠CBN. Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что AC' = A'C.
РешениеСколькими способами можно разбить 14 человек на пары?
РешениеПри каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
Решение
Задачи
Задача 67055 (#1) |
|
|
Мудрецам $A, B, C, D$ сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
$A$: "На одной из моих карточек – число 8".
$B$: "Все числа на моих карточках простые".
$C$: "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель".
$D$: "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас".
Какие карточки у $A$, если все сказали правду?
|
|
Решение |
Задача 67056 (#2) |
|
|
В одной из клеток шахматной доски 10×10 стоит ладья. Переходя каждым ходом в соседнюю по стороне клетку, она обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно по одному разу. Докажите, что для каждой главной диагонали доски верно следующее утверждение: в маршруте ладьи есть два последовательных хода, первым из которых она ушла с этой диагонали, а следующим – вернулась на неё. (Главная диагональ ведёт из угла доски в противоположный угол.)
|
|
|
Решение |
Задача 67057 (#3) |
|
|
На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе $N$ найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно $N$ различных возможных финишных точек?
|
|
|
Решение |
Задача 67058 (#4) |
|
|
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
|
|
|
Решение |
Задача 67059 (#5) |
|
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
