Версия для печати
Убрать все задачи

---

На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

   Решение

---

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

   Решение

---

Постройте четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу между AB и CD.

   Решение

---

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66300  (#8.2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A₁ и C₁. Докажите, что OB – биссектриса угла A₁OC₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66307  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66315  (#10.2)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66206  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

I – центр вписанной окружности треугольника ABC,  H_B, H_C – ортоцентры треугольников ABI и ACI соответственно, K – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной BC. Докажите, что точки H_B, H_C и K лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66301  (#8.3)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена медиана CF. Точки X и Y симметричны F относительно медиан AD и BE соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BEX и ADY совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями