Задача 66300

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Соколов А.

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A₁ и C₁. Докажите, что OB – биссектриса угла A₁OC₁.

Решение 1

  Так как  ∠HBC = 90° – ∠C = ∠ABO,  равнобедренные треугольники HBC₁ и ABO подобны. Поэтому треугольники OBC₁ и ABH также подобны, то есть  ∠C₁OB = ∠HAB = 90° – ∠B  (см. рис.). Аналогично  ∠A₁OB = ∠HCB = 90° – ∠B.

Решение 2

  Точка G, симметричная H относительно стороны BC лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 55463). Поэтому
∠AGB = ∠С,  а точка O лежит на серединном перпендикуляре к хорде BG. Углы AGB и CC₁O равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно,  ∠CC₁O = ∠С = ∠A₁C₁B,  то есть C₁B – внешняя биссектриса угла A₁C₁O.
  Аналогично A₁B – внешняя биссектриса угла C₁A₁O. Значит, B – центр вневписанной окружности треугольника A₁OC₁ и OB – биссектриса угла A₁OC₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2