Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найти все значения x и y, удовлетворяющие равенству   xy + 1 = x + y.

   Решение

---

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

   Решение

---

Три лягушки на болоте прыгнули по очереди. Каждая приземлялась точно в середину отрезка между двумя другими. Длина прыжка второй лягушки 60 см. Найдите длину прыжка третьей лягушки.

   Решение

---

Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

   Решение

---

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65671  (#1)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65672  (#2)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC на продолжении медианы CM за точку C отметили точку K так, что  AM = CK.  Известно, что угол BMC равен 60°.
Докажите, что  AC = BK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65673  (#3)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Васе задали на дом уравнение  x² + p₁x + q₁ = 0,  где p₁ и q₁ – целые числа. Он нашел его корни p₂ и q₂ и написал новое уравнение  x² + p₂x + q₂ = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65674  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65675  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями