Версия для печати
Убрать все задачи

---

Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?

   Решение

---

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QM ⊥ AC  и  PM ⊥ AB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65247  (#10.6)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на  k + 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65255  (#11.6)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65252  (#9.6)

Темы:   [ Теория алгоритмов ] [ Шахматная раскраска ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65240  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65248  (#10.7)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QM ⊥ AC  и  PM ⊥ AB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями