Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел.
Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

   Решение

---

Существует ли такой параллелограмм, что все точки попарных пересечений биссектрис его углов лежат вне параллелограмма?

   Решение

---

Дан многочлен  P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀,  у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку  [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

   Решение

---

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64749  (#10.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Соображения непрерывности ] [ Доказательство от противного ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65009  (#8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65010  (#9)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четность и нечетность ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65011  (#10)

Темы:   [ Построения с помощью двусторонней линейки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Трапеции (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65012  (#11)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Выпуклый n-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше чем n, у третьего – меньше чем n.
Каковы возможные значения n?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями