|
|
 |
Условие
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
Решение
Пусть AK, BL и CM – высоты треугольника. Так как множество хороших точек симметрично относительно высоты BL, а число их нечётно, то одна из хороших точек лежит на этой высоте. Поскольку чевиана, соединяющая эту точку с вершиной A, не короче высоты AK, то AK ≤ BL и, значит, AC ≤ AB. Более того, AC не может быть длиннее BL, так как иначе на BL было бы две хороших точки.
Предположим теперь, что некоторая хорошая точка не лежит на высоте. Пусть AA', BB', CC' – проходящие через нее чевианы. Тогда KA' = MC', причём одна из точек A', C' лежит между основанием соответствующей высоты и вершиной B, а другая – нет. Отсюда следует, что соответствующие чевианы короче AC и, тем более, короче BL. Противоречие. Значит, хорошая точка только одна.
Ответ
1.
