ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64749
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.


Решение

  Лемма. Рассмотрим треугольники ABC и A'B'C', вписанные в окружность Ω; пусть их соответствующие стороны пересекаются в точках A1, B1, C1. Тогда  

  Доказательство. Из подобия треугольников AC1A' и B'C1B имеем     Перемножая эти равенства с четырьмя аналогичными, получаем требуемое.

  Докажем сначала, что для любых точек A1, B1 на сторонах BC и AC найдётся не более одной точки C1 на стороне AB, для которой треугольник ABC восстанавливается однозначно. Зафиксируем треугольник ABC и точки A1, B1. Пусть A2, B2 – вторые точки пересечения прямых AA1, BB1 с окружностью Ω; C' – произвольная точка дуги A2CB2; A', B' – вторые точки пересечения прямых C'A1, C'B1 с Ω; C1 – точка пересечения AB и A'B'. Когда точка C' близка к A2 или к B2, точка C1 близка к A или B соответственно. При движении точки C' от A2 до B2 точка C1 непрерывно движется от A до B (в случае, когда
C = C',  рассматривается предельное положение точки C2; то, что оно существует, гарантируется леммой). Значит, для любой точки C1, кроме, возможно, вышеупомянутого предельного положения, треугольник ABC однозначно не восстанавливается, ибо существует второй треугольник A'B'C'.

  Осталось доказать, что, если AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке T, то треугольник восстанавливается однозначно (тогда из вышедоказанного следует, что других случаев нет). Пусть это не так; тогда из леммы получаем     то есть отрезки A'A1, B'B1, C'C1 также пересекаются в одной точке T', что невозможно. Действительно, пусть, например, точка A' лежит на дуге AC; тогда T' не может лежать в угле ATB, так как его не пересекает отрезок A'A1. Остальные случаи разбираются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .