Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]

Задача 64744 (#10.3)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65004 (#3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Нилов Ф.

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB и ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64702 (#8.4)

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Богданов И.И.

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64737 (#9.4)

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике ABC отметили точки A', B' касания сторон BC, AC c вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA' и BB'. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64745 (#10.4)

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Монотонность, ограниченность	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Нилов Ф.

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]