Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $\geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a_kq^k + a_{k - 1}q^{k - 1} +...+ a₁q + a₀,

где 0 $\leqslant$ a₀,..., a_k < q

Решение

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

Решение

На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

Решение

Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких n это возможно?

Решение

Задача 58296

Задача 58297

Задача 58306

Задача 58298

Задача 58299