Информация о задаче

Задача 58299

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть n $\ge$ 3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Решение

Да, существуют. Рассмотрим точки P_i = (i, i²), где i = 1,..., n. Площади всех треугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки рациональны (см. задачу 24.5), а числа P_iP_j = | i - j| $\sqrt{1+(i+j)^2}$ иррациональны.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	3
Название	Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
задача
Номер	26.016