|
|
 |
Условие
Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких n это возможно?
Подсказка
Для каждой пары прожекторов на арене должна найтись область, освещённая в точности этими двумя прожекторами.
Решение
Впишем в арену правильный k-угольник, где k = ½ n(n – 1) – число различных пар, которые можно составить из n прожекторов. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, отсекаемыми сторонами k-угольника, и парами прожекторов. Пусть каждый прожектор освещает весь k-угольник и сегменты, соответствующие парам прожекторов, в которые он входит. Легко проверить, что это освещение обладает требуемыми свойствами.
Ответ
При любом n ≥ 2.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 26 |
| Название | Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры |
| Тема | Системы точек и отрезков |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Примеры и контрпримеры |
| Тема | Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры |
| задача | |
| Номер | 26.023 |
| web-сайт | |
| задача | |
