Каталог по источникам

Выбрано 6 задач

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Решение

Решить предыдущую задачу, используя в алгоритме Евклида деление с остатком.

Решение

Автор: Храбров А.

Докажите неравенство sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Решение

Автор: Штейнгарц Л.

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, a₂, a₃, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что a_k = a_k+T при любом натуральном k?

Решение

Автор: Сендеров В.А.

Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства ^a/_c = ^b/_d = ^ab+1/_cd+1. Докажите, что a = c и b = d.

Решение

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a $\displaystyle \le$ 2b - 2 - $\displaystyle \sum$ ( $\displaystyle \lambda$ (P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

Задача 58250 (#25.009.1)

Задача 58251 (#25.010.1)

Задача 58252 (#25.011.1)

Задача 58253 (#25.012.1)

Задача 58254 (#25.034)