Условие
Докажите, что количество частей, на которые
данные прямые разбивают плоскость, равно
1 +
n +
(
(
P) - 1),
причем среди этих частей 2
n неограниченных.
Решение
Доказательство проведем индукцией по
n. Для двух прямых
утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для
n - 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из
n прямых.
Пусть
f — количество частей, на которые данные
n прямых
разбивают плоскость;
g = 1 +
n +
(
(
P) - 1). Выбросим из данной
системы одну прямую и для полученной системы прямых определим
аналогичным образом числа
f' и
g'. Если на выброшенной прямой
лежит
k точек пересечения прямых, то
f' =
f -
k - 1 и
g' = 1 + (
n - 1) +
(
(
P) - 1). Легко проверить, что
(
(
P) - 1) = -
k +
(
(
P) - 1). По предположению индукции
f' =
g'. Поэтому
f =
f' +
k + 1 =
g' +
k + 1 =
g. Ясно также, что количество неограниченных
частей равно 2
n.
Источники и прецеденты использования
