Информация о задаче

Задача 58253

Тема:

[

Плоскость, разрезанная прямыми

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a $\displaystyle \le$ 2b - 2 - $\displaystyle \sum$ ( $\displaystyle \lambda$ (P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

Пусть a_k' — количество красных k-угольников, a' — количество ограниченных красных областей, количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно $\sum$ $\lambda$ (P) - n (см. задачу 25.10.1). Каждый отрезок является стороной не более чем одного красного многоугольника, поэтому 3a' $\le$ $\sum\limits_{k \ge 3}^{}$ ka_k' $\le$ $\sum$ $\lambda$ (P) - n, причем одно неравенство достигается тогда и только тогда, когда нет красных k-угольников, где k > 3, а другое неравенство достигается тогда и только тогда, когда любой отрезок является стороной красного k-угольника, т. е. любая неограниченная красная область является углом.
Количество ограниченных областей равно 1 - n + $\sum$ ( $\lambda$ (P) - 1) = c (см. задачу 25.11.1). поэтому количество b' ограниченных синих областей равно c - a' $\ge$ 1 - n + $\sum$ ( $\lambda$ (P) - 1) - ( $\sum$ $\lambda$ (P) - n)/3 = 1 - (2n/3) + $\sum$ (2 $\lambda$ (P)/3 - 1). Цвета 2n неограниченных областей чередуются, поэтому b = b' + n $\ge$ 1 + (n/3) + $\sum$ (2 $\lambda$ (P)/3 - 1) и a = a' + n $\le$ (2n + $\sum$ $\lambda$ (P))/3, а значит, 2b - a $\ge$ 2 + $\sum$ ( $\lambda$ (P) - 2).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	5
Название	Плоскость, разрезанная прямыми
Тема	Плоскость, разрезанная прямыми
задача
Номер	25.012.1