Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]

Задача 58125 (#22.BIs10)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если существует фигура $\Phi{^\prime}$ , площадь которой не меньше площади фигуры $\Phi$ , а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и $\Phi$ , но большей площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 58126 (#22.BIs11)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры $\Phi$ делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Прислать комментарий Решение

Задача 58127 (#22.BIs12)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что если выпуклая фигура $\Phi$ отлична от круга, то существует фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Прислать комментарий Решение

Задача 58128 (#22.BIs13)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A₁...A_n с данными величинами углов A_i и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58129 (#22.BIs14)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S $\le$ P²/4 $\pi$ , причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]