Задача 30402

Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

x, y, z – натуральные числа, причём  x² + y² = z².  Докажите, что xy делится на 12.

Решение

Из решения задачи 30379 следует, что xy делится на 3. Квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1, квадрат чётного числа, не кратного 4, – остаток 4, квадрат числа, кратного 4, – остаток 0. Поэтому либо x и y оба чётны, либо среди них есть число, кратное 4.

Замечания

Нетрудно доказать, что даже в случае, когда числа x, y чётны, одно из этих чисел делится на 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	045