Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа  x³ + y  и  y³ + x  делятся на  x² + y².

   Решение

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

   Решение

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?
б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

   Решение

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами.
б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      

Дан выпуклый n-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче 22.8, не менее n - 2.

Прислать комментарий

Решение

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n. Докажите, что среди углов A_iOA_j не менее n - 1 не острых.

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписан выпуклый n-угольник A₁...A_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников A_pA_qA_r есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n - 2.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами.
б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]