Задача 58121

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n. Докажите, что среди углов A_iOA_j не менее n - 1 не острых.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 доказательство очевидно. Рассмотрим теперь n-угольник A₁...A_n, где n4. Точка O лежит внутри некоторого треугольника A_pA_qA_r. Пусть A_k — вершина данного n-угольника, отличная от точек A_p, A_q и A_r. Выбросив вершину A_k, из n-угольника A₁...A_n получим (n - 1)-угольник, к которому можно применить предположение индукции. Кроме того, углы A_kOA_p, A_kOA_q и A_kOA_r не могут быть все острыми, так как сумма некоторых двух из этих углов больше 180^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.010