ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58122
Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан выпуклый n-угольник A1...An, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников ApAqAr есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n - 2.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Пусть n$ \ge$4. Фиксируем один остроугольный треугольник ApAqAr и выбросим вершину Ak, отличную от вершин этого треугольника. К полученному (n-1)-угольнику можно применить предположение индукции. Кроме того, если, например, точка Ak лежит на дуге ApAq и  $ \angle$AkApAr$ \le$$ \angle$AkAqAr, то треугольник AkApAr остроугольный. В самом деле, $ \angle$ApAkAr = $ \angle$ApAqAr, $ \angle$ApArAk < $ \angle$ApArAq и  $ \angle$AkApAr$ \le$90o, а значит, $ \angle$AkApAr < 90o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 1
Название Выпуклые многоугольники
Тема Выпуклые многоугольники
задача
Номер 22.011

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .