ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58119
Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

Решение

Если многоугольник не треугольник и не параллелограмм, то у него найдутся две непараллельные несоседние стороны. Продолжив их до пересечения, получим новый многоугольник, содержащий исходный и имеющий меньшее число сторон. После нескольких таких операций получим треугольник или параллелограмм. Если получится треугольник, то все доказано; поэтому будем считать, что получился параллелограмм ABCD. На каждой его стороне лежит сторона исходного многоугольника, и одна из его вершин, например A, не принадлежит исходному многоугольнику (рис.). Пусть K — ближайшая к A вершина многоугольника, лежащая на AD, a KL — сторона, не лежащая на AD. Тогда многоугольник заключен внутри треугольника, образованного прямыми KL, BC и CD.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 1
Название Выпуклые многоугольники
Тема Выпуклые многоугольники
задача
Номер 22.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .