Задача 58123

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами.
б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

Решение

а) Пусть ABCD — данный параллелограмм. В меньшем параллелограмме, гомотетичном ему, любой отрезок, параллельный стороне AB, строго меньше AB. То же самое верно не только для сторон, но и для диагоналей. Поэтому каждую из четырёх вершин параллелограмма должен покрывать свой параллелограмм.
б) Пусть выпуклый многоугольник M отличен от параллелограмма. Воспользовавшись результатом задачи 22.8, выберем три стороны многоугольника M, при продолжении которых образуется треугольник ABC, объемлющий многоугольник M. Затем выберем на этих трёх сторонах точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин многоугольника (точка A₁ лежит на прямой BC и т.д.). Наконец, выберем произвольную точку O внутри многоугольника M. Отрезки OA₁, OB₁ и OC₁ разрезают M на три части. Рассмотрим гомотетию с центром A. Если коэффициент этой гомотетии достаточно близок к 1, то образ многоугольника M полностью покрывает ту часть, которую отрезают OB₁ и OC₁. Две остальные части покрываются аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.012B-