Версия для печати
Убрать все задачи

---

Ковёр имеет форму квадрата со стороной 275 см. Моль проела в нем четыре дырки. Можно ли гарантированно вырезать из ковра квадратный кусок со стороной 1 м, не содержащий дырок? Дырки считайте точечными.

   Решение

---

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x¹⁰⁰Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x⁹⁹ в многочлене  (P(x) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

   Решение

---

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB соответственно. Докажите, что  = + .

   Решение

---

Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57838  (#16.001)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57839  (#16.002)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57840  (#16.003)

Тема:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через A₂, B₂ и C₂, тоже пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57841  (#16.004)

Тема:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55713  (#16.005)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть P - середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PDC равна половине площади четырехугольника ABCD, то стороны BC и AD параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями