Условие
Докажите, что прямые, проведенные через середины
сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным
сторонам, пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть
P,
Q,
R и
S — середины сторон
AB,
BC,
CD и
DA;
M — точка пересечения отрезков
PR и
QS (т. е. середина обоих
этих отрезков: см. задачу
14.5);
O -- центр описанной окружности,
а точка
O' симметрична
O относительно точки
M. Докажем, что
прямые, о которых идет речь в условии задачи, проходят через
точку
O'. В самом деле,
O'POR — параллелограмм, поэтому
O'P|
OR, а так как
R — середина хорды
CD, то
OR 
CD,
т. е.
O'P CD. Для прямых
O'Q,
O'R и
O'S доказательство
проводится аналогично.
Источники и прецеденты использования
