Задача 55713

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть P - середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PDC равна половине площади четырехугольника ABCD, то стороны BC и AD параллельны.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно точки P.

Решение

Пусть D₁ - образ вершины D при симметрии относительно точки P. Тогда

S(D₁PB) + S(CPB) = S(DPA) + S(CPB) = S(CPD) = S(D₁PC).

Поэтому точка B лежит на отрезке D₁C. Поскольку D₁B || AD, то BC || AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5709
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	1
Название	Симметрия помогает решить задачу
Тема	Центральная симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	16.005