Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

   Решение

---

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

   Решение

---

Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз.
Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?

   Решение

---

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57477  (#1)

Темы:   [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98200  (#2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108598  (#3)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98202  (#4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Средние величины ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.
Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.
(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98203  (#5)

Темы:   [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями