|
|
 |
Условие
Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы,
до некоторого n включительно: 12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются
одинаковое количество раз?
Решение 1
Докажем, что единиц в такой записи всегда больше, чем нулей.
Первый способ. Индукция. База (выписаны несколько первых цифр) очевидна: нулей в записи нет, а единица есть.
Шаг индукции. Пусть число n (k+1)-значно. Разобьём запись, начиная с числа 10k, на блоки по 10k чисел; последний блок может быть неполным. В каждом полном блоке сотрём первые цифры у всех чисел. Получится запись, в которой выписаны все
k-значные числа от 0...0 до 9...9. Ясно, что в ней все цифры встречаются одинаковое число раз. В неполном блоке также сотрём первые цифры у всех чисел. При этом появится некоторое количество чисел, начинающихся с нулей. Эти нули переставим (спереди) к соответствующим "старым" числам, у которых было не более k знаков, (эти числа не вошли в блоки) и припишем спереди нули к тем "старым" числам, для которых нулей не хватило. Число 0...0, образовавшееся из первого числа неполного блока, переставим в начало записи и тоже будем считать "старым" k-значным числом. Теперь у "старых" k-значных чисел (после приписывания нулей "старых" чисел с меньшим числом знаков не осталось) нулей столько же, сколько единиц, а у "новых" чисел (в которые превратились (k+1)-значные числа неполного блока) по предположению индукции единиц больше, чем нулей. Но по сравнению с исходной ситуацией число нулей не уменьшилось, а число единиц уменьшилось.
Второй способ. Каждому нулю в записи поставим в соответствие единицу, которая стоит левее него. А именно, пусть 0 – цифра в некотором числе X, стоящая в нем на (m+1)-м месте с конца (m ≥ 0). Тогда в ряду левее числа X записано число X – 9·10m, в котором на (m+1)-м месте стоит цифра 1.
Если бы ряду были записаны все натуральные числа, то можно было бы построить обратное соответствие: каждой единице, которая находится в некотором числе X на (m+1)-м месте с конца, соответствует ноль, стоящий на (m+1)-м месте в числе X + 9·10m.
Отсюда следует, что при первом соответствии разным нулям соответствуют разные единицы. Значит, количество нулей в построенном ряду не больше количества единиц. Чтобы их было поровну, нужно, чтобы обратное соответствие не выводило за пределы ряда. В частности, единице на первом месте ряда соответствует ноль в числе 10, т.е. 10 в ряду записано. Единице в числе 10 соответствует ноль в числе 100, ... Продолжая, получим, что в ряду должны быть все степени десятки, а это не так.
Решение 2
Девятки всегда появляются позже, чем единицы. Отсюда следует, что единственный кандидат на роль n, который мог бы подойти, – число вида 9...9. Но в этом случае легко видеть, что нулей будет меньше, чем других цифр.
Ответ
Не существует.
Замечания
3 балла
