Задача 98203

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Анджанс А.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Решение

Пусть кузнечик приземлился на другого на n-м ходу. Можно считать, что координаты вершин исходного квадрата:  (0, 0),  (0, 3ⁿ),  (3ⁿ, 3ⁿ)  и  (3ⁿ, 0).  Тогда все координаты кузнечиков – целые: степень тройки, на которую делится, например, абсцисса центра тяжести только на единицу меньше степени тройки, на которую делится НОД абсцисс кузнечиков. Кроме того, чётность абсциссы (и, аналогично, ординаты) каждого кузнечика сохраняется, поскольку полусумма абсцисс кузнечика до и после прыжка – целое число. Следовательно, координаты двух кузнечиков после n ходов совпасть не могут. Противоречие.

Ответ

Не может.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5