Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]

Задача 56796 (#04.045)

Тема:

[

Площадь четырехугольника

]

Сложность: 6
Классы: 9

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos²((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то S² = abcd sin²((B + D)/2).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56797 (#04.046)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Прислать комментарий Решение

Задача 56798 (#04.047)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна ${\frac{2bc}{b+c}}$ cos ${\frac{\alpha }{2}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56799 (#04.048)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 3
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$ + ${\frac{OB_1}{BB_1}}$ + ${\frac{OC_1}{CC_1}}$ = 1;
б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. ${\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 56800 (#04.049)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 3
Классы: 9

Даны (2n - 1)-угольник A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]