ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56799
Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A1, B1 и C1. Докажите, что:
а)  $ {\frac{OA_1}{AA_1}}$ + $ {\frac{OB_1}{BB_1}}$ + $ {\frac{OC_1}{CC_1}}$ = 1;
б)  $ {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $ {\frac{BA_1}{A_1C}}$ . $ {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Решение

а) Пусть расстояния от точек A и O до прямой BC равны h и h1. Тогда  SOBC : SABC = h1 : h = OA1 : AA1. Аналогично  SOAC : SABC = OB1 : BB1 и  SOAB : SABC = OC1 : CC1. Складывая эти равенства и учитывая, что  SOBC + SOAC + SOAB = SABC, получаем требуемое.
б) Пусть расстояния от точек B и C до прямой AA1 равны db и dc. Тогда  SABO : SACO = db : dc = BA1 : A1C. Аналогично  SACO : SBCO = AC1 : C1B и  SBCO : SABO = CB1 : B1A. Остается перемножить эти равенства.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 8
Название Вспомогательная площадь
Тема Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер 04.048

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .