ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56796
Тема:    [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).

Решение

а) Пусть  AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Ясно, что S = SABC + SADC = (ab sin B + cd sin D)/2 и a2 + b2 - 2ab cos B = AC2 = c2 + d2 - 2cd cos D. Поэтому

16S2 = 4a2b2 - 4a2b2cos2B + 8abcd sin B sin D + 4c2d2 - 4c2d2cos2D,    
(a2 + b2 - c2 - d2)2 + 8abcd cos B cos D = 4a2b2 . cos2B + 4c2d2cos2D.    

Подставляя второе равенство в первое, получаем

16S2 = 4(ab + cd )2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 - 8abcd (1 + cos B cos D - sin B sin D).

Ясно, что  4(ab + cd )2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d ) и  1 + cos B cos D - sin B sin D = 2 cos2((B + D)/2).
б) Если ABCD — вписанный четырехугольник, то  $ \angle$B + $ \angle$D = 180o, а значит,  cos2((B + D)/2) = 0.
в) Если ABCD — описанный четырехугольник, то a + c = b + d, поэтому p = a + c = b + d и  p - a = c, p - b = d, p - c = a, p - d = b. Следовательно, S2 = abcd (1 - cos2((B + D)/2)) = abcd sin2((B + D)/2).
Если четырехугольник ABCD вписанный и описанный одновременно, то S2 = abcd.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 7
Название Формулы для площади четырехугольника
Тема Площадь четырехугольника
задача
Номер 04.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .