Задача 56800

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Решение

Легко проверить, что отношение длин отрезков  A_{n + k - 1}B_k и  A_{n + k}B_k равно отношению площадей треугольников  A_{n + k - 1}OA_k и  A_kOA_{n + k}. Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.049