Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

   Решение

Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.

   Решение

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

   Решение

Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что  BAH = OAC.

   Решение

Сколько существует последовательностей из единиц и двоек, сумма всех элементов которых равна n? Например, если  n = 4,  то таких последовательностей пять: 1111,  112,  121,  211,  22.

   Решение

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если  ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁,  ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁  и  ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁,  то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если  ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁,  ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁  и  ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁,  то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]