Задача 53871

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Если  AH·A₁H = BH·B₁H,  то треугольники AH₁B и BHA₁ подобны, и наоборот.

Решение

  Если H – точка пересечения высот треугольника ABC, то треугольники AHB₁ и BHA₁ подобны. Следовательно,  AH : BH = B₁H : A₁H,  или  AH·A₁H = BH·B₁H.
  Аналогично  BH·B₁H = CH·C₁H.

  Пусть теперь  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H.
  Тогда треугольники AHB₁ и BHA₁ подобны. Обозначим  ∠AB₁H = ∠BA₁H = φ.  Тогда  ∠CA₁H = ∠CB₁H = 180° – φ.
  Аналогично  ∠BC₁H = ∠CB₁H = 180° – φ,  ∠AC₁H = ∠CA₁H = 180° – φ.   Следовательно,  ∠AC₁H = ∠BC₁H = 90°.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	5
Название	Треугольник, образованный основаниями высот
Тема	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной
задача
Номер	01.055
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1636