Задача 56515

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Так как  OA ⊥ B₁C₁ (см. задачу 56510 б), то  S_AOC1 + S_AOB1 = ½ R·B₁C₁.
  Аналогичные рассуждения для вершин B и C показывают, что  S_ABC = qR.  С другой стороны,  S_ABC = pr.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	5
Название	Треугольник, образованный основаниями высот
Тема	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной
задача
Номер	01.059