Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.
Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

   Решение

---

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

   Решение

---

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116630  (#9.1)

Тема:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что  P(0)P(1) = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116638  (#10.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  n ≥ 512.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116646  (#11.1)

Тема:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Натуральные числа d и  d' > d  – делители натурального числа n. Докажите, что  d' > d + ^d²/_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116631  (#9.2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116632  (#9.3)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Подсчет двумя способами ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями