Задача 116630

Тема:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Автор: Храбров А.

Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что  P(0)P(1) = 0.

Решение

Пусть  P(x) = x² + px + q,  а t – общий корень данных многочленов. Тогда  P(0)P(1) = q(p + q + 1) = pq + q² + q = P(q) = P(P(0)) = P(P(P(t))) = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
Задача
Номер	9.1