Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

   Решение

---

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)?

Замечание. Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

   Решение

---

Найдите все пары натуральных чисел  (а, b),  для которых выполняется равенство  НОК(а, b) – НОД(а, b) = ^ab/₅.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116430  (#11.1.1)

Тема:   [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 2 Классы: 9,10,11

Решите неравенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116431  (#11.1.2)

Темы:   [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Верно ли, что в пространстве два угла с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180°?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116432  (#11.1.3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

В клетках квадратной таблицы 10×10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116438  (#11.3.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Найдите все пары натуральных чисел  (а, b),  для которых выполняется равенство  НОК(а, b) – НОД(а, b) = ^ab/₅.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116433  (#11.2.1)

Темы:   [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  f(1) + f(2) = 10  и    при любых а и b. Найдите f(2²⁰¹¹).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями