Задача 116438

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все пары натуральных чисел  (а, b),  для которых выполняется равенство  НОК(а, b) – НОД(а, b) = ^ab/₅.

Решение

Воспользуемся тем, что НОК(а, b) делится на НОД(а, b), и тождеством  НОК(а, b)·НОД(а, b) = ab.  Пусть  НОД(а, b) = n,  тогда  НОК(а, b) = kn  (n и k – натуральные числа). Тогда   5(kn – n) = kn²,   или  k(5 – n) = 5.  Это уравнение имеет единственное решение:  k = 5,  n = 4.   Значит,  НОД(а, b) = 4,  НОК(а, b) = 20,  ab = 80.  Оба числа не меньше 4, и одно кратно 5, то есть не меньше 20. Отсюда ответ.

Ответ

{4, 20}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.3.3